1. Curvas:
   1.1. Curvas parametrizadas;
   1.2. Curvas regulares e comprimento de arco;
   1.3. Teoria local das curvas parametrizadas pelo comprimento de arco;
   1.4. Forma canônica local;
   1.5. Propriedades globais de curvas planas.
2. Superfícies regulares:
   2.1. Definições;
   2.2. Mudança de parâmetros;
   2.3. Plano tangente e diferencial de uma aplicação diferenciável;
   2.4. Primeira forma fundamental;
   2.5. Orientação.
3. Geometria da aplicação de Gauss:
   3.1. Definições;
   3.2. Aplicação de Gauss em coordenadas;
   3.3. Campos de vetores;
   3.4. Superfícies mínimas.
4. Geometria intrínseca das superfícies:
   4.1. Isometrias e aplicações conformes;
   4.2. Teorema de Gauss e as equações de compatibilidade;
   4.3. Transporte paralelo e geodésicas;
   4.4. Teorema de Gauss-Bonnet e aplicações

1. Sistemas de números reais e complexos:
   1.1. Conjuntos ordenados;
   1.2. Corpos algébricos;
   1.3. Corpo dos números reais;
   1.4. Sistema estendido dos números reais;
   1.5. Corpo dos números complexos;
   1.6. Espaços vetoriais Euclidianos.
2. Sequências e séries numéricas:
   2.1. Sequências convergentes;
   2.2. Subsequências;
   2.3. Sequências de Cauchy;
   2.4. Séries;
   2.5. Séries de termos não negativos;
   2.6. Testes da raiz e da razão;
   2.7. Convergência absoluta.
3. Continuidade:
   3.1. Limites de funções;
   3.2. Funções contínuas;
   3.3. Continuidade e compacidade;
   3.4. Continuidade e conexidade;
   3.5. Descontinuidades;
   3.6. Funções monótonas;
   3.7. Limites infinitos e limites no infinito.
4. Diferenciação:
   4.1. Derivada de uma função real;
   4.2. Teorema do valor médio;
   4.3. Continuidade de derivadas;
   4.4. Regras de L’Hospital;
   4.5. Derivadas de ordem superior;
   4.6. Derivação de funções a valores vetoriais.
5. Integral de Riemann-Stieltjes:
   5.1. Definição e existência da integral;
   5.2. Propriedades;
   5.3. Integração e diferenciação;
   5.4. Integração de funções a valores vetoriais;
   5.5. Curvas retificáveis.
6. Funções de Várias Variáveis:
   6.1. Diferenciação;
   6.2. O Princípio da Contração;
   6.3. O Teorema da Função Inversa;
   6.4. O Teorema da Função Implícita;
   6.5. O Teorema do Posto;
   6.6. Derivadas de Ordem Superior;
   6.7. Diferenciação de Integrais.
7. Integração de Formas Diferenciais:
   7.1. Integração;
   7.2. Mapeamentos Primitivos;
   7.3. Partições da Unidade;
   7.4. Troca de Variáveis;
   7.5. Formas Diferenciais;
   7.6. Simplexos e Cadeias;
   7.7. Teorema de Stokes;
   7.8. Formas Fechadas e Formas Exatas;
   7.9. Análise Vetorial: Teorema de Green, Gauss e Stokes.

1. Espaços Topológicos e Funções Contínuas:
   1.1. Espaços topológicos, bases e sub-bases;
   1.2. Subespaços Topológicos;
   1.3. Funções Contínuas;
   1.4. Conjuntos Fechados e Pontos de Acumulação;
   1.5. Topologia Produto e Topologia das Caixas;
   1.6. Topologia Métrica;
   1.7. Topologia Quociente e Espaço Quociente.
2. Conexidade:
   2.1. Espaços Conexos e Espaços Conexos por Caminhos;
   2.2. Subespaços conexos da reta;
   2.3. Componentes conexas e conexidade local.
3. Compacidade:
   3.1. Espaços Compactos;
   3.2. Subespaços compactos da reta;
   3.3. Compacidade local;
   3.4. Compactificação de Alexandrov.
4. Axiomas de Separação e Enumerabilidade:
   4.1. Axiomas de Enumerabilidade;
   4.2. Axiomas de Separação;
   4.3. Espaços Normais;
   4.4. Lema de Uryshon;
   4.5. Teorema da Extensão de Tietze.
5. Teorema de Tychonoff:
   5.1. Lema de Zorn e Axioma da Escolha;
   5.2. O Teorema de Tychonoff;
   5.3. Compactificação de Stone-Cech.
6. Espaços de Baire.
7. Grupo Fundamental e Aplicações:
   7.1. Homotopia de Caminhos;
   7.2. O grupo Fundamental;
   7.3. Espaços de Recobrimento;
   7.4. O grupo Fundamental do Círculo;
   7.5. Retrações e Pontos Fixos;
   7.6. Teorema de Borsuk-Ulam;
   7.7. Retrato de Deformação e Tipo de Hom;
   7.8. Campos de Vetores sobre a Esfera.

1. Espaços normados:
   1.1. Propriedades básicas e exemplos;
   1.2. Espaços de Banach;
   1.3. Operadores lineares;
   1.4. Espaços normados de dimensão finita;
   1.5. Espaços quocientes;
   1.6. Duais de espaços normados;
   1.7. Adjunto de um operador.
2. Espaços de Hilbert:
   2.1. Propriedades básicas e exemplos;
   2.2. Ortogonalidade;
   2.3. Conjuntos ortonormais;
   2.4. Teorema da representação de Riesz;
   2.5. Adjunto de um operador linear em espaços de Hilbert.
3. Teoremas clássicos:
   3.1. Teorema de Hahn-Banach;
   3.2. Princípio da limitação uniforme;
   3.3. Teorema da aplicação aberta;
   3.4. Teorema do gráfico fechado.
4. Topologias fracas e espaços reflexivos:
   4.1. Topologia fraca;
   4.2. Topologia fraca-estrela e o teorema de Alaoglu;
   4.3. Espaços reflexivos.
5. Teorema espectral para operadores compactos:
   5.1. Operadores compactos;
   5.2. Diagonalização de operadores compactos e auto-adjuntos;
   5.3. Teorema espectral para operadores compactos e normais.

1. Revisão de Sistemas lineares planares:
   1.1. Equações de segunda ordem;
   1.2. Sistemas lineares planares;
   1.3. Princípio da linearidade.
2. Revisão dos Retratos de fase para sistemas planares:
   2.1. Autovalores reais e distintos, complexos e repetidos;
   2.2. Mudança de coordenadas.
3. Revisão da Classificação dos sistemas planares:
   3.1. Plano traço-determinante;
   3.2. Classificação dinâmica.
4. Revisão de Sistemas lineares em dimensões mais altas:
   4.1. Autovalores distintos;
   4.2. Oscilador harmônico;
   4.3. Autovalores repetidos.
5. Sistemas não lineares:
   5.1. Sistemas dinâmicos;
   5.2. Teoremas fundamentais de existência e unicidade de soluções, dependência contínua e extensão de soluções;
   5.3. Demais teoremas fundamentais.
6. Equilíbrios em sistemas não lineares:
   6.1. Exemplos ilustrativos;
   6.2. Poços e fontes não lineares;
   6.3. Selas;
   6.4. Estabilidade;
   6.5 Bifurcações.
7. Técnicas não lineares globais:
   7.1. Estabilidade de equilíbrios;
   7.2. Sistemas Gradientes;
   7.3. Sistemas Hamiltonianos.
8. Órbitas fechadas e conjuntos limites:
   8.1. Conjuntos limites;
   8.2. Seções locais e caixas de fluxos;
   8.3. Teorema de Poincaré-Bendixson e aplicações.
9. Aplicações em biologia:
   9.1. Doenças infecciosas;
   9.2. Sistema predador-presa;
   9.3. Espécies em competição.
10. Aplicações na teoria de circuitos elétricos:
    10.1. Circuito RLC;
    10.2. Equação de Lienard;
    10.3. Equação de van der Pol.
11. Aplicações em mecânica:
    11.1. Segunda lei de Newton;
    11.2. Sistemas conservativos;
    11.3. Campos centrais;
    11.4. Sistema de força central Newtoniano;
    11.5. Primeira Lei de Kepler;
    11.6. O problema de dois corpos.

1. Estabilidade estrutural de sistemas planares:
   1.1. Preliminares;
   1.2. Perturbações;
   1.3. Diferenciabilidade de fluxos;
   1.4. Estabilidade estrutural de poços e fontes;
   1.5. Tempo para passar por uma sela;
   1.6. Estabilidade estrutural de ciclos limites;
   1.7. Campos de Morse-Smale no plano;
   1.8. Teorema de estabilidade estrutural;
   1.9. Teorema da densidade.
2. Bifurcações em sistemas planares:
   2.1. Diagramas de bifurcação;
   2.2. Bifurcação sela-nó;
   2.3. Bifurcação sela-nó genérica versus degenerada;
   2.4. Sela-nó homoclínica;
   2.5. Bifurcação de Hopf; 2.6. Coeficientes de Liapunov;
   2.7. Conexões de selas;
   2.8. Conexão homoclínica e conexão heteroclínica;
   2.9. Ciclos limites semi-estáveis;
   2.10. Bifurcação em famílias a um parâmetro;
   2.11. Bifurcações em famílias a dois parâmetros.

1. Classificação das EDP’s:
   1.1. EDP de ordem k;
   1.2. EDP linear e não-linear;
   1.3. Equações elípticas, parabólicas e hiperbólicas;
   1.4. Equação de Laplace, do calor e da onda.
2. Espaços de Sobolev:
   2.1. Espaços de Hölder;
   2.2. Espaços de Sobolev: Derivadas fracas, definição de espaços de Sobolev e propriedades elementares;
   2.3. Aproximação;
   2.4. Extensões;
   2.5 Traço;
   2.6. Desigualdades de Sobolev;
   2.7. Imersões compactas.
3. Equações elípticas de segunda ordem:
   3.1. Soluções fracas;
   3.2. Teorema de Lax-Milgram;
   3.3. Regularidade;
   3.4. Princípios de Máximo;
   3.5. Autovalores e autofunções.
4. Equações de evolução lineares:
   4.1. Equações parabólicas de segunda ordem;
   4.2. Teoria de semigrupos.
5. Teoria para equações diferenciais parciais não-lineares:
   5.1. Idéias básicas;
   5.2. Coercividade, semicontinuidade inferior e convexidade;
   5.3. Regularidade;
   5.4. Problema de autovalor.
6. Técnicas não-variacionais:
   6.1. Métodos de monotocidade;
   6.2. Métodos de ponto fixo;
   6.3. Subdiferenciais e semigrupos não-lineares;
   6.4. Teoremas de compacidade.

1. Integração Abstrata:
   1.1. O conceito de mensurabilidade;
   1.2. Funções simples;
   1.3. Propriedades elementares de medidas;
   1.4. Integração de medidas positivas;
   1.5. Integração de funções complexas;
   1.6. Conjunto de medida nula.
2. Medidas de Borel Positivas:
   2.1. Preliminares topológicos;
   2.2. O Teorema de representação de Riesz;
   2.3. Regularidade das medidas de Borel;
   2.4. A medida de Lebesgue;
   2.5. Teorema de Lusin;
   2.6. Teorema de Vitali-Carathéodory.
3. Os Espaços Lp:
   3.1. Funções convexas e desigualdades;
   3.2.Aproximação por funções contínuas.
4. Medidas Complexas:
   4.1. Variação total;
   4.2. Medidas absolutamente contínuas e singulares;
   4.3. O Teorema de Radon-Nikodym e consequências;
   4.4. Funcionais lineares limitados em Lp;
   4.5. O Teorema de Riesz-Markov.
5. Medidas Produto:
   5.1. Mensurabilidade em produtos cartesianos;
   5.2. Medidas produto;
   5.3. O Teorema de Fubini;
   5.4. Completamento de medidas produto;
   5.5. Convoluções.
6. Diferenciação:
   6.1. Derivadas de medidas;
   6.2. Funções de variação limitada;
   6.3. Funções absolutamente contínuas;
   6.4. Generalização do Teorema Fundamental do Cálculo.

1. Noções de variedades diferenciáveis e aplicações.
2. Germes:
   2.1. Conjunto singular e conjunto bifurcação;
   2.2. Teorema de Sard;
   2.3. Espaço de jatos;
   2.4. Teorema da transversalidade de Thom.
3. A álgebra En:
   3.1. Ações de grupos de Lie; lema de Mather;
   3.2. Lema de Hadamard;
   3.3. Lema de Nakayama;
   3.4. Espaço tangente a um germe f em En segundo o grupo R; o módulo E (n,p);
   3.5. Número de Milnor.
4. Germes finitamente determinados:
   4.1. Critério para determinação finita (grupo R).
5. Classificação de germes de funções:
   5.1. Lema de Morse;
   5.2. Splitting lemma;
   5.3. A transversal completa;
   5.4. As singularidades Ak, Dk, E6, E7 e E8.
6. Desdobramentos:
   6.1. Deformação versal;
   6.2. Teorema fundamental dos desdobramentos.
7. Aplicações na geometria diferencial:
   7.1 Função altura;
   7.2 Função distância ao quadrado.

1. Grupos:
   1.1. Semigrupos, Monoides e Grupos;
   1.2. Subgrupos e Teorema de Lagrange;
   1.3. Homomorfismos, subgrupos normais e grupo quociente;
   1.4. Teoremas de Isomorfismo;
   1.5. Produto direto e semi-direto de grupos;
   1.6. Teoremas de Sylow;
   1.7. Grupos de permutação e Teorema de Cayley;
   1.8. Grupos abelianos (finitos e infinitos);
   1.9. Grupos Livres e produto livre de grupos.
2. Anéis:
   2.1. Anéis e homomorfismos de anéis;
   2.2. Ideais e anéis quociente;
   2.3. Divisores de zero, elementos nilpotentes e unidades;
   2.4. Ideais primos e ideais maximais;
   2.5. Nilradical e Radical de Jacobson;
   2.6. Corpo de frações de um domínio integral;
   2.7. Anéis de polinômios.
3. Módulos:
   3.1. Módulos e homomorfismos de módulos;
   3.2. Submódulos e módulo quociente;
   3.3. Operações em submódulos;
   3.4. Soma direta e produto de módulos;
   3.5. Módulos finitamente gerados e módulos de torção;
   3.6. Sequências exatas;
   3.7. Produto tensorial de módulos;
   3.8. Propriedades de exatidão do produto tensorial;
   3.9. Produto Torção e Produto Extensão.

1. Sistemas de números complexos:
   1.1. Números reais e números complexos;
   1.2. Plano complexo;
   1.3. Representação polar de números complexos;
   1.4. O plano estendido e a representação esférica.
2. Espaços métricos e a topologia de C:
   2.1. Definição e exemplos de espaços métricos;
   2.2. Conexidade; Sequências e completude;
   2.3. Compacidade;
   2.4. Continuidade;
   2.5. Convergência uniforme.
3. Funções Analíticas:
   3.1. Séries de potências;
   3.2. Funções analíticas;
   3.3. Transformações de Mobius.
4. Integração complexa:
   4.1. Integral de Riemann-Stieltjes;
   4.2. Representação em série de potência;
   4.3. Zero de uma função analítica;
   4.4. Teorema de Cauchy;
   4.5. Índice de uma curva fechada;
   4.6. Fórmula integral de Cauchy;
   4.7. Teorema da aplicação aberta;
   4.8. Teorema de Goursat.
5. Singularidades:
   5.1. Classificação das singularidades;
   5.2. Resíduos;
   5.3. Princípio do argumento.
6. Teorema do módulo máximo:
   6.1. Princípio do máximo;
   6.2. Funções convexas.
7. Espaço das funções analíticas:
   7.1. Espaço das funções contínuas;
   7.2. Espaço das funções analíticas;
   7.3. Espaço das funções meromorfas.
8. Aplicações:
   8.1. Aplicações em modelos da Física e da Engenharia.

1. Introdução às variedades:
   1.1. Revisão da topologia de Rn,
   1.2. Variedades topológicas, Exemplos;
   1.3. Variedades abstratas, Alguns exemplos.
2. Funções de várias variáveis e mapeamentos:
   2.1. Diferenciabilidade e derivada;
   2.2. O espaço tangente em um ponto de Rn;
   2.3. Campos vetoriais em abertos de Rn;
   2.4. O teorema da função inversa em Rn.
3. Variedades diferenciáveis e subvariedades:
   3.1. Definição e exemplos de variedades diferenciáveis;
   3.2. Funções diferenciáveis e mapeamentos;
   3.3. Posto de um mapeamento e imersões;
   3.4. Subvariedades;
   3.5. Grupos de Lie;
   3.6. Ação de grupos de Lie.
4. Campos vetoriais em variedades:
   4.1. O espaço tangente em um ponto;
   4.2. Campos vetoriais e fluxo;
   4.3. Subgrupos a 1 parâmetro de grupos de Lie;
   4.4. Álgebra de Lie dos campos vetoriais;
   4.5. Teorema de Frobenius.
5. Cálculo Tensorial:
   5.1. O espaço cotangente;
   5.2. Formas bilineares;
   5.3. Tensores;
   5.4. Produto tensorial;
   5.5. Campos tensoriais em variedades;
   5.6. k-formas diferenciáveis e derivada exterior.

1. Elementos de Medida, Topologia e Análise:
   1.1. Espaços mensuráveis;
   1.2. Espaços topológicos;
   1.3. Funções contínuas e mensuráveis;
   1.4. Medida, Integração e teoremas de convergências.
2. Sistema Dinâmico e Recorrência:
   2.1. Teorema de Recorrência de Poincaré;
   2.2. Medida Invariante;
   2.3. Expansão decimal;
   2.4. Transformação de Gauss;
   2.5. Rotações.
3. Topologia no Espaço das Medidas Invariantes:
   3.1. A topologia fraca estrela é metrizável.
4. Teoremas Ergódicos:
   4.1. Teorema de Von Neumann;
   4.2. Teorema de Birkhoff.
5. Entropia:
   5.1. Entropia de uma partição;
   5.2. Entropia de uma medida e topológica.
6. Aplicações:
   6.1. Subshift de tipo finito, processos de Markov e comentários sobre sistemas dinâmicos gerais.

Ementa a ser definida conforme necessidade dos alunos/curso.

Ementa a ser definida conforme necessidade dos alunos/curso.

Oferecer estudo complementar aos alunos.

Oferecer estudo complementar aos alunos.